Асимптотическое разложение и асимптотическая формула для корня трансцендентного уравнения с параметром

Аннотация

Рассмотрено классическое конечное уравнение, содержащее параметр. При некотором условии на левую часть этого уравнения, после замены переменной она сводится к такому виду, что нетрудно провести классификацию случаев соотношений между составляющими ее частями. Каждый случай влечет за собой определенную ситуацию с существованием решения исследуемого уравнения, и показано, что оно может иметь, по сути, один и тот же стандартный вид. Для последнего приведен фундаментальный результат построения асимптотического разложения. Далее проводится доказательство формулы для вида коэффициентов искомого разложения, использующее индуктивный прием. Другой подход к поиску решения указанного уравнения связан с возможностью получения асимптотической формулы, с виду напоминающей бесконечную цепную дробь. Сначала естественным образом строятся рекуррентно приближения как последовательно уточняющиеся неравенства для решения, затем строго доказывается сходимость этих приближений. Поточечная сходимость отдельно четных и нечетных приближений вызвана их монотонностью и ограниченностью, а дополнительное условие непрерывной дифференцируемости входящих данных уравнения гарантирует и равномерную сходимость приближений к решению. В заключении приведен простой пример такой цепной дроби.