Изучение уравнений леонтьевского типа с белым шумом методами производных в среднем случайных процессов

Аннотация

Уравнение леонтьевского типа с белым шумом мы понимаем как выражение $L\dot\xi(t)=M\xi(t)+\dot w(t)$, где $L$ - вырожденная матрица $n\times n$, $M$ - невырожденная матрица $n\times n$, $\xi(t)$ - искомый случайный процесс и $\dot w(t)$ - белый шум. Поскольку производная $\dot\xi(t)$ и белый шум корректно определены только в терминах обобщенных функций, прямое исследование подобного уравнения весьма сложно. Мы привлекаем к исследованию два приема: сначала мы переходим к стохастическому дифференциальному уравнению $L\xi(t)=M\int_0^t\xi(s)ds+w(t)$, где $w(t)$ - винеровский процесс, и затем используем для описания решений этого уравнения так называемые производные в среднем от случайных процессов по Нельсону, которые вводятся без привлечения обобщенных функций. Этим способом получены формулы для решений уравнений леонтьевского типа с белым шумом.