On Factorization of a Differential Operator Arising in Fluid Dynamics

Аннотация

О факторизации одного дифференциального оператора, возникающего в гидродинамике. Спектральные свойства линейных операторов играют важную роль в анализе устойчивости динамических систем. В заметке исследуются свойства несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка, связанного с исследованием проблемы устойчивости стационарного динамического состояния тонкой пленки, образованной вязкой ньютоновской жидкостью и расположенной на внутренней поверхности вращающегося цилиндра, при наличии гравитационного поля. Линеаризация по малому параметру (отношению толщины потока к размеру цилиндра) в этом случае порождает дифференциальный оператор с областью определения, вложенной в прямую сумму двух подпространств, натянутых, соответственно, на базисы ${e^{inx}}$ и ${e^{-inx}}$ (n>0), причем указанные подпространства не являются инвариантными по отношению к оператору, и одномерного подпространства констант. Доказывается, что этот оператор допускает представление в виде произведения двух дифференциальных операторов первого порядка. Полученное представление используется для доказательства компактности резольвенты исследуемого оператора и непосредственного описания его области определения.