О задаче минимальной реализации

Аннотация

Предполагается, что для линейной конечномерной стационарной динамической системы $Sigma$ с дискретным временем известна степень МакМиллана $delta$ и конечная последовательность ее марковскиx параметров $G_1,ldots,G_m$, $mgeqslant 2delta$. Рассматриваются задачи восстановления по этим данным переходной матрицы-функции G(z) системы, минимальных индексов и взаимно простых дробных факторизаций G(z), минимальных решений соответствующих уравнений Безу, минимальной реализации $Sigma$. Для каждой из них существует отдельный алгоритм решения. В данной работе предлагается единый подход к исследованию этих проблем. Он основан на методе индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц. Этот метод был ранее разработан для явного решения задачи факторизации Винера - Хопфа мероморфных матриц-функций. Показано, что решение всех вышеуказанных задач может быть получено, как только будут найдены индексы и существенные многочлены последовательности $G_1,ldots,G_m$. Вычисление индексов и существенных многочленов можно осуществить средствами линейной алгебры. Для матриц с элементами из поля рациональных чисел алгоритм реализован в среде Maple в виде процедуры ExactEssPoly.