A Numerical Method for Inverse Spectral Problems

Abstract

На основе метода Галеркина разработан новый численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных дискретными полуограниченными снизу операторами. В отличии от метода решения обратных спектральных задач, основанного на теории регуляризованных следов дискретных полуограниченными снизу операторов, в разработанном методе ослаблены ограничения на возмущающий оператор. Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации области исследования. Метод был апробирован на спектральных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали вычислительную эффективность метода. 
Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных полуограниченных снизу оператора, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений этих операторов можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами. Можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с большими номерами, когда применение метода Галеркина становится затруднительным.