Стохастические уравнения леонтьевского типа и производные в среднем случайных процессов

Аннотация

Стохастические дифференциальные уравнения леонтьевского типа мы понимаем как специальный класс стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, у которых в левой части имеется вырожденный постоянный линейный оператор, а в правой части - невырожденный постоянный линейный оператор. Также в правой части имеется слагаемое, зависящее только от времени. Его физический смысл - входящий сигнал в устройство, описываемое указанными выше операторами. В статьях А.Л. Шестакова и Г.А. Свиридюка подобные уравнения использованы для описания динамически искаженных сигналов. Переход к стохастическим дифференциальным уравнениям возникает при необходимости учета помех. Отметим, что для исследования решений таких уравнений необходимо использовать производные произвольного порядка от сигнала и от помех. В этой статье для дифференцирования помех мы применяем аппарат так называемых производных в среднем по Нельсону от случайных процессов. Это позволяет при исследовании не использовать аппарат теории обобщенных функций. Мы даем краткое введение в теорию производных в среднем, исследуем преобразование уравнений к каноническому виду и находим формулы для решений в терминах производных в среднем винеровского процесса.