Сходимость метода конечных элементов для краевой задачи с вырождением на всей границе области

Аннотация

В статье рассматривается задача Дирихле с однородным граничным условием для эллиптического уравнения второго порядка с вырождением на всей дважды непрерывно дифференцируемой границе двумерной области Ω. Определяется обобщенное решение этой задачи, которое существует и единственно в весовом пространстве Ŵ¹_2,α(Ω). Для решения сформулированной задачи разработан метод конечных элементов, схема которого построена на основе определения обобщенного решения исходной дифференциальной задачи в пространстве Ŵ¹_2,α(Ω). С этой целью двумерная выпуклая область разбивается на треугольники со специальным сгущением к границе. Далее, введено пространство конечных элементов V^h ⊂ Ŵ¹_2,α(Ω), которое содержит непрерывные функции, линейные на каждом треугольном элементе сеточной области Ω^h и равные нулю на множестве Ω' \ Ω^h, показана однозначная разрешимость схемы метода конечных элементов. Для обобщенного решения u из подпространства Ŵ²_2,α-1(Ω) пространства Ŵ¹_2,α(Ω), используя значения в узлах триангулированной области Ω^h, строится интерполянт u_I∈ V^h, устанавливается факт его сходимости по норме W¹_2,α(Ω). Главным результатом работы является доказательство сходимости приближенного решения предложенного метода к точному решению в весовом пространстве Соболева.